Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4．
（1）求以點(diǎn)A為圓心，以$\sqrt{10}$為半徑的圓與直線l相交所得弦長(zhǎng)；
（2）設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|=2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l：y=2x-4與圓A相交的弦為線段BC，求出圓心到直線l的距離，利用垂徑定理求解即可．
（2）設(shè)圓C的方程為（x-a）²+[y-2（a-2）]²=1．設(shè)點(diǎn)M（x，y），通過|MA|=2|MO|，化簡(jiǎn)，利用點(diǎn)M（x，y）在圓C上，推出|2-1|≤|CD|≤2+1，求解即可．

解答 解：（1）設(shè)直線l：y=2x-4與圓A相交的弦為線段BC
則圓心到直線l的距離$d=\frac{{|{0-3-7}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{7}{{\sqrt{5}}}=\frac{7}{5}\sqrt{5}$．---------------------------（2分）
由題意知${（{\frac{{|{BC}|}}{2}}）^2}+{d^2}={（\sqrt{10}）^2}$，---------------------------（4分）
解得$|{BC}|=\frac{2}{5}\sqrt{5}$．--------------------（6分）
（2）因?yàn)閳A心在直線y=2x-4上，所以圓C的方程為（x-a）²+[y-2（a-2）]²=1．
設(shè)點(diǎn)M（x，y），因?yàn)閨MA|=2|MO|，
所以$\sqrt{{x^2}+{{（y-3）}^2}}=2\sqrt{{x^2}+{y^2}}$，化簡(jiǎn)得x²+y²+2y-3=0，即x²+（y+1）²=4，
所以點(diǎn)M在以D（0，-1）為圓心，2為半徑的圓上．---------------------------（8分）
由題意，點(diǎn)M（x，y）在圓C上，所以M 是圓C與圓D的公共點(diǎn)，則|2-1|≤|CD|≤2+1，所以 $1≤\sqrt{{a^2}+{{（2a-3）}^2}}≤3$．---------------------------（10分）
即$\left\{\begin{array}{l}5{a^2}-12a+8≥0\\ 5{a^2}-12a≤0\end{array}\right.$得$0≤a≤\frac{12}{5}$
所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為$[{0，\frac{12}{5}}]$．----------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系，考查分析問題解決問題的能力．