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已知向量
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[
π
2
，
3
2
π]
（1）求|
a
+
b
|的取值范圍；
（2）求函數(shù)f(x)=
a
•
b
-|
a
+
b
|的最小值，并求此時x的值．
分析：（1）由-1≤cos2x≤1，以及 |
a
+
b
|=
2+2cos2x
，求出 |
a
+
b
|的最小值．
（2）由條件可得-1≤cosx≤0，化簡f（x）為2cos2x+2cosx-1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的最小值．
解答：解：（1）∵x∈[
π
2
，
3
2
π]，∴-1≤cos2x≤1，
∴|
a
+
b
|=
(cos
3x
2
+cos
x
2
)2+(sin
3x
2
-sin
x
2
) 2
=
2+2cos2x
．
∴0≤|
a
+
b
|≤2．　�。�4分）
（2）∵x∈[
π
2
，
3
2
π]，∴-1≤cosx≤0． …（6分）
∵f(x)=
a
•
b
-|
a
+
b
|=cos2x-
2+2cos2x
=2cos2x-1-
4cos2x
=2cos2x+2cosx-1，…（10分）
∴當cosx=-
1
2
，即x=
2
3
π或x=
4
3
π時，f(x)=
a
•
b
-|
a
+
b
|取最小值-
3
2
．…（12分）
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，向量的模的定義，求向量的模的方法，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設(shè)f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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