Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x²-ax-a，x∈R，其中a＞0。
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為M（t），最小值為m（t），記g（t）=M（t）-m（t），求函數(shù)g（t）在區(qū)間[-3，-1]上的最小值。

Answer 1

解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=（x+1）（x-a），
令f′（x）=0，可得x₁=-1，x₂=a＞0
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞a；
令f′（x）＜0，可得-1＜x＜a
故函數(shù)的遞增區(qū)間為（-∞，-1），（a，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，a）。
（2）由（1）知函數(shù)在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，從而函數(shù)在（-2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴，
∴，
∴0＜a＜
∴a的取值范圍為；
（3）a=1時(shí)，f（x）=，
由（1）知，函數(shù)在（-3，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上單調(diào)遞減，
在（1，2）上單調(diào)遞增
①當(dāng)t∈[-3，-2]時(shí)，t+3∈[0，1]，-1∈[t，t+3]，f（x）在[t，-1]上單調(diào)遞增，
在[-1，t+3]上單調(diào)遞減
因此函數(shù)在[t，t+3]上的最大值為M（t）=f（-1）=-，
而最小值m（t）為f（t）與f（t+3）中的較小者
由f（t+3）-f（t）=3（t+1）（t+2）知，
當(dāng)t∈[-3，-2]時(shí)，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），
所以g（t）=f（-1）-f（t）而f（t）在[-3，-2]上單調(diào)遞增，
因此f（t）≤f（-2）=-，
所以g（t）在[-3，-2]上的最小值為
②當(dāng)t∈[-2，-1]時(shí)，t+3∈[1，2]，-1，1∈[t，t+3]，
下面比較f（-1），f（1），f（t），f（t+3）的大小
由f（x）在[-2，-1]，[1，2]上單調(diào)遞增，
有f（-2）≤f（t）≤f（-1），f（1）≤（t+3）≤f（2）
∵f（1）=f（-2）=-，f（-1）=f（2）=-
∴M（t）=f（-1）=-，m（t）=f（1）=-
∴g（t）=M（t）-m（t）=
綜上，函數(shù)g（t）在區(qū)間[-3，-1]上的最小值為。