Question

（2010•石家莊二模）已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)．
（Ⅰ）若y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，求實數(shù)a、b的值．
（Ⅱ）當a≠0時，若f（x）在（-1，1）上不單調，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把x=0代入切線方程，求出的y值為切點的縱坐標，確定出切點坐標，把切點坐標代入f（x）中即可求出b的值，然后求出f（x）的導函數(shù)，把x=1代入導函數(shù)中，令求出的導函數(shù)值等于切線方程的斜率，即可求出a的值；
（Ⅱ）函數(shù)不單調，即函數(shù)在區(qū)間 （-1，1）有極值，即導函數(shù)在區(qū)間上有解，令導函數(shù)為0，結合一元二次不等式即可求出a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）依題意，1+f（1）-3=0∴f（1）=2，
即2=

1

3

-a+a2-1+b，a2-a+b-

8

3

=0，
∵切線x+y-3=0的斜率為-1，
∴f'（1）=-1，即a²-2a+1=0，a=1，
代入解得b=

8

3

；
（Ⅱ） 因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上不單調，
所以方程f'（x）=0在（-1，1）上有解，
因為f'（x）=x²-2ax+a²-1=[x-（a-1）]•[x-（a+1）]，
所以-1＜a-1＜1或-1＜a+1＜1…（10分）∴a∈（-2，0）∪（0，2）．

點評：此題考查了利用導數(shù)研究曲線上某地切線方程的斜率，以及一元二次不等式的解法．要求學生掌握求導法則，采用轉化的思想求不等式的解集．