Question

（2013•珠海二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），點P(

15

5

a，

1

2

a)在橢圓上．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設A橢圓的右頂點，O坐標原點，若Q橢圓上且滿足|AQ|=|AO|，求直線OQ的斜率的值．

Answer 1

分析：（1）直接把點P的坐標代入橢圓方程，結合a²=b²+c²即可得到橢圓的離心率；
（2）由題意可知直線OQ的斜率存在且不等于0，設出OQ所在直線方程，設出Q點的坐標，和橢圓方程聯(lián)立后求出Q點的橫坐標，再由|AQ|=|AO|求出Q點橫坐標的另一表達式，由兩橫坐標相等，同時結合（1）中得到的a和b的關系即可得到關于k的方程，解方程可求k的值．

解答：解：（1）因為點P（

15 a

5

，

1

2

a）在橢圓上，所以

15a2

25a2

+

a2

4b2

=1，
整理得：5a²=8b²，則5a²=8（a²-c²），
所以

c2

a2

=

3

8

，則e=

6

4

；
（2）設直線OQ的斜率為k，則其方程為y=kx
設點Q的坐標為（x₀，y₀），由條件得

y0=kx0 x02 a2 + y02 b2 =1

，
消元并整理可得x02=

a2b2

k2a2+b2

①
因為|AQ|=|AO|，A（a，0），y₀=kx₀，
所以(x0-a)2+k2x02=a2，
所以(1+k2)x02=2ax0，
因為x₀≠0，
所以x0=

2a

1+k2

．
代入①，整理得

4a2

(1+k2)2

=

a2b2

k2a2+b2

，
因為

b2

a2

=

5

8

，
所以(1+k2)2=

32

5

k2，
整理得，5k⁴-22k²-15=0
所以k²=5，則k=±

5

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉化等數(shù)學思想方法．屬難題．