Question

設平面內的向量，，，點P在直線OM上，且．
（Ⅰ）求的坐標；
（Ⅱ）求∠APB的余弦值；
（Ⅲ）設t∈R，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由點P在直線OM上，可知與共線，利用向量共線的充要條件得到有代入，利用向量的數(shù)量積公式列出關于x的方程，求出的坐標；
（II）由（I）可求得，利用向量模的坐標公式求出它們的模，代入．
利用數(shù)量積公式求出∠APB的余弦值；
（III）利用向量模的坐標公式將表示成關于t的二次函數(shù)，然后求出其最小值．
解答：解：（Ⅰ）設．
由點P在直線OM上，可知與共線．
而=（2，2），
所以2x-2y=0，即x=y，有．
由，，
所以，
即．
又，所以2x²-4x-14=16．
可得x=5或-3．
所以或（-3，-3）．…（4分）
當時，
滿足，
當時，
不滿足，
所以
（Ⅱ）由，
可得．
又．
所以．…（8分）
（Ⅲ），．
當時，的最小值是． …（12分）
點評：本題考查平面向量共線定理，平面向量數(shù)量積的坐標表示，二次函數(shù)的單調性及最值的求解，向量夾角的坐標表示．熟練掌握向量的基礎知識并能靈活運用是解決問題的關鍵．