Question

15．橢圓$\frac{x^2}{{\frac{a^2}{2}}}$+$\frac{y^2}{a^2}$=1與連結(jié)A（1，2），B（2，3）的線段沒(méi)有公共點(diǎn)，則正數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\sqrt{6}$）∪（$\sqrt{17}$，∞）
• B． （$\sqrt{17}$，∞）
• C． [$\sqrt{6}$，$\sqrt{17}$]
• D． （$\sqrt{6}$，$\sqrt{17}$）

Answer 1

分析 因?yàn)闄E圓與線段無(wú)公共點(diǎn)，所以線段AB在橢圓的內(nèi)部或在橢圓的外部，即由“A，B兩點(diǎn)同在橢圓內(nèi)或橢圓外”求解．

解答 解：根據(jù)題意有：A，B兩點(diǎn)同在橢圓內(nèi)或橢圓外．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{4}{{a}^{2}}＜1}\\{\frac{8}{{a}^{2}}+\frac{9}{{a}^{2}}＜1}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{4}{{a}^{2}}＞1}\\{\frac{8}{{a}^{2}}+\frac{9}{{a}^{2}}＞1}\end{array}\right.$，
∴0＜a＜$\sqrt{6}$或a＞$\sqrt{17}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要通過(guò)直線與橢圓的位置關(guān)系，來(lái)考查點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系．當(dāng)點(diǎn)（x₀，y₀）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1內(nèi)，則有$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$＜1，點(diǎn)（x₀，y₀）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1外，則有$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$＞1．