Question

15．若s，t均為正數(shù)，且s+t=1，則$\frac{st}{（st+1）（st+4）}$的最大值是（　�。�

• A． $\frac{4}{85}$
• B． $\frac{7}{72}$
• C． $\frac{1}{9}$
• D． $\frac{1}{7}$

Answer 1

分析 先運用基本不等式得st∈（0，$\frac{1}{4}$]，再換元，并利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性求原式的最大值．

解答 解：因為s，t均為正數(shù)，且s+t=1，
則st≤$（\frac{s+t}{2}）^2$=$\frac{1}{4}$，即st∈（0，$\frac{1}{4}$]，
令x=st∈（0，$\frac{1}{4}$]，
則$\frac{st}{（st+1）（st+4）}$=$\frac{x}{（x+1）（x+4）}$
=$\frac{x}{x^2+5x+4}$=$\frac{1}{x+\frac{4}{x}+5}$，
因為函數(shù)y=x+$\frac{4}{x}$在（0，2）單調(diào)遞減，且x∈（0，$\frac{1}{4}$]，
所以，當(dāng)x=$\frac{1}{4}$時，x+$\frac{4}{x}$取得最小值$\frac{1}{4}$+16=$\frac{65}{4}$，
所以，$\frac{st}{（st+1）（st+4）}$的最小值為：$\frac{1}{\frac{65}{4}+5}$=$\frac{4}{85}$，
故答案為：A．

點評 本題主要考查了基本不等式在求最值問題中的應(yīng)用，涉及換元法和雙勾函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．