Question

19．已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f（x）=e^x（x²+ax-2）在區(qū)間（-3，-2）內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)g（x）在（-3，-2）上恒小于等于0列式求出a的取值范圍即可．

解答 解：由f（x）=（x²+ax-2）e^x，得
f′（x）=[x²+（a+2）x+a-2]e^x，
令g（x）=x²+（a+2）x+a-2，
因?yàn)椤?（a+2）²-4（a-2）=a²+12＞0，
所以g（x）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＞x₂，
要使f（x）在[-3，-2]上單調(diào)遞減，
必須滿足$\left\{\begin{array}{l}{g（-3）≤0}\\{g（-2）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{9-3（a+2）+a-2≤0}\\{4-2（a+2）+a-2≤0}\end{array}\right.$，
解得：a≥$\frac{1}{2}$，
故答案為：[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，訓(xùn)練了方程的根與二次函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，屬中檔題．