Question

18．已知f（x）=-（a+1）lnx+ax-$\frac{1}{x}$，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導數(shù)，討論a的取值范圍，利用函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系進行求解即可．

解答 解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），
f′（x）=-$\frac{a+1}{x}$+a+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}-（a+1）x+1}{{x}^{2}}$=$\frac{（ax+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，x＞0，
若a=0，則f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，由f′（x）＞0得x＞1，由f′（x）＜0得0＜x＜1，即此時函數(shù)的增區(qū)間為（1，+∞），單調遞減區(qū)間為（0，1），
當a≠0時，f′（x）=$\frac{a（x-1）（x+\frac{1}{a}）}{{x}^{2}}$，
由f′（x）=0得x=1或x=-$\frac{1}{a}$，
若a＞0，則-$\frac{1}{a}$＜0，由f′（x）＞0得x＞1，由f′（x）＜0得0＜x＜1，即此時函數(shù)的增區(qū)間為（1，+∞），單調遞減區(qū)間為（0，1），
若-$\frac{1}{a}$=1，得a=-1，此時f′（x）=$\frac{-（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$＜0，此時函數(shù)單調遞減，單調遞減區(qū)間為（0，+∞），
若-1＜a＜0，則-$\frac{1}{a}$＞1，由f′（x）＞0得1＜x＜-$\frac{1}{a}$，此時函數(shù)單調遞增，遞增區(qū)間為（1，-$\frac{1}{a}$），
由f′（x）＜0得0＜x＜1或x＞-$\frac{1}{a}$，此時函數(shù)單調遞減，遞減區(qū)間為（-$\frac{1}{a}$，+∞），（0，1），
若a＜-1，則-$\frac{1}{a}$＜1，由f′（x）＞0得-$\frac{1}{a}$＜x＜1，此時函數(shù)單調遞增，遞增區(qū)間為（-$\frac{1}{a}$，1），
由f′（x）＜0得0＜x＜-$\frac{1}{a}$或x＞1，此時函數(shù)單調遞減，遞減區(qū)間為（0，-$\frac{1}{a}$），（1，+∞）．

點評 本題主要考查函數(shù)單調性和單調區(qū)間的求解，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)和函數(shù)單調性之間的關系是解決本題的關鍵．