Question

18．如圖，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F(xiàn)為棱BB₁的中點(diǎn)，M為線段AC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：直線MF∥平面ABCD
（2）求證：MF⊥平面ACC₁．

Answer 1

分析 （1）取AC，BD的交點(diǎn)記為O．連接MO，由三角形的中位線的性質(zhì)可得MF∥BO，從而證明MF∥平面ABCD．
（2）由直四棱柱性質(zhì)得CC₁⊥平面ABCD，從而CC₁⊥BD，由菱形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)推知AF=C₁F，結(jié)合等于三角形的性質(zhì)得到：MF⊥AC₁．易證得結(jié)論．

解答 （1）證明：取AC，BD的交點(diǎn)記為O．連接MO．
則$MO\begin{array}{l}{∥}\\=\end{array}\frac{1}{2}C{C_1}$，又$BF\begin{array}{l}{∥}\\=\end{array}\frac{1}{2}C{C_1}$，故$MO\begin{array}{l}{∥}\\=\end{array}BF$，
則四邊形MOBF為平行四邊形，
故MF∥BO，
又MF?面ABCD，BO?面ABCD，
故直線MF∥平面ABCD；
（2）證明：四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁為直四棱柱，
則CC₁⊥平面ABCD，BD?面ABCD，則BD⊥CC₁，
又BD∥MF，故MF⊥CC₁，
在Rt△ABF和Rt△B₁C₁F中，
∵F為棱BB₁中點(diǎn)，故B₁F=BF，
又AB=B₁C₁，則Rt△ABF≌Rt△B₁C₁F，
所以AF=C₁F，結(jié)合M為線段AC₁的中點(diǎn)，
得MF為等腰三角形AFC₁底邊AC₁的中線，故MF⊥AC₁．
又CC₁?平面ACC₁，AC₁?平面ACC₁，CC₁∩AC₁=C₁，
故MF⊥平面ACC₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．