Question

3．已知a₁=1，a_n+1＞a_n，且（a_n+1-a_n）²-2（a_n+1+a_n）+1=0，計(jì)算a₂，a₃，然后猜想a_n．

Answer 1

分析 由題設(shè)條件知（a₂-1）²-2（a₂+1）+1=0，所以a₂=4．由（a₃-4）²-2（a₃+4）+1=0，知a₃=9由此猜想a_n=n²．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1＞a_n，且（a_n+1-a_n）²-2（a_n+1+a_n）+1=0，
∴（a₂-1）²-2（a₂+1）+1=0，
整理得a₂²-4a₂=0，
∴a₂=4或a₂=0（舍）．
（a₃-4）²-2（a₃+4）+1=0，
整理，得a₃²-10a₃+9=0，
∴a₃=9或a₃=1（舍）．
由此猜想a_n=n²．
故答案為：n²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意遞推公式的應(yīng)用，尋代各項(xiàng)和規(guī)律，合理地進(jìn)行猜想．