Question

4．在空間直角坐標系中，已知正四面體A-BCD的頂點A（0，0，0），B（0，2，0），$C（{\sqrt{3}，1，0}）$，則頂點D的坐標為$（\frac{\sqrt{3}}{3}，1，±\frac{2\sqrt{6}}{3}）$．

Answer 1

分析 由A（0，0，0），B（0，2，0），$C（{\sqrt{3}，1，0}）$，可得|AB|=|BC|=|AC|=2，△ABC的重心G$（\frac{\sqrt{3}}{3}，1，0）$．設E為邊長BC的中點．可得DE=AE=$\sqrt{3}$，GE=$\frac{1}{3}AE$，設D$（\frac{\sqrt{3}}{3}，1，z）$．利用DG²+GE²=DE²，即可得出．

解答 解：由A（0，0，0），B（0，2，0），$C（{\sqrt{3}，1，0}）$，
可得|AB|=|BC|=|AC|=2，△ABC的重心G$（\frac{\sqrt{3}}{3}，1，0）$．
設E為邊長BC的中點．
則DE=AE=$\sqrt{3}$，GE=$\frac{1}{3}AE$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
設D$（\frac{\sqrt{3}}{3}，1，z）$．
則DG²+GE²=DE²，
∴${z}^{2}+（\frac{1}{3}×\sqrt{3}）^{2}$=$（\sqrt{3}）^{2}$，
解得z=$±\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$（\frac{\sqrt{3}}{3}，1，±\frac{2\sqrt{6}}{3}）$．

點評 本題考查了三角形的重心公式、正四面體的性質、勾股定理、等邊三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．