Question

 

橢圓：的離心率為，長軸端點與短軸端點間的距離為．

     （I）求橢圓的方程；

     （II）設過點的直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，若為直角三角形，求直線的斜率．

 

Answer 1

【答案】

 

（I）

（II）k的值為和

【解析】

解：（I）由已知 又，解得

所以橢圓C的方程為  ………………………………4分

   （II）根據題意，過點D（0，4）滿足題意的直線斜率存在，設

聯立，，消去y得，

，令，解得   

設E、F兩點的坐標分別為，

   （i）當∠EOF為直角時，

則，

因為∠EOF為直角，所以，即，

所以，

所以，解得

   （ii）當∠OEF或∠OFE為直角時，不妨設∠OEF為直角，

此時，，所以，即……①

又…………②

將①代入②，消去x1得

解得或（舍去），

將代入①，得  所以，

經檢驗，所求k值均符合題意，綜上，k的值為和