Question

設(shè)拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（-1，6）和（-1，-2）對(duì)稱軸與x軸平行，開(kāi)口向右，直線y=2x+7被拋物線截得的線段的長(zhǎng)是，求拋物線的方程．

Answer 1

【答案】分析：由兩點(diǎn)（-1，6）和（-1，-2）的中點(diǎn)為（-1，2），因此可設(shè)要求的拋物線方程為（y-2）²=2p（x+a）．（p＞0）．由于點(diǎn)（-1，6）在拋物線上，代入可得2p（-1+a）=16，化為p（a-1）=8．因此．
設(shè)直線y=2x+7與拋物線相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立，化為4（a-1）x²+（20a-36）x+9a-25=0．（a＞0，a≠1），利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式即可得到a，p．
解答：解：∵兩點(diǎn)（-1，6）和（-1，-2）的中點(diǎn)為（-1，2），因此可設(shè)要求的拋物線方程為（y-2）²=2p（x+a）．（p＞0）．
∵點(diǎn)（-1，6）在拋物線上，∴2p（-1+a）=16，化為p（a-1）=8．∴．
設(shè)直線y=2x+7與拋物線相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立，化為4（a-1）x²+（20a-36）x+9a-25=0．（a＞0，a≠1）
∴x₁+x₂=，x₁x₂=．
∵|AB|==，
∴=16×10，化為2a²-a-3=0，解得a=-1或a=．
∵a＞0，∴a=．
∴=16．
∴拋物線的方程為．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握拋物線的對(duì)稱性、直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式等是解題的關(guān)鍵．