Question

18．已知a，b，c∈R⁺，且滿足$\frac{kabc}{a+b+c}$≤（a+b）²+（a+b+4c）²，求k的最大值．

Answer 1

分析 運用均值不等式，對不等式的右邊變形，再將a+b+c乘到右邊，除以abc，拆成五項的和相乘，再由均值不等式，即可得到最小值，可得k的最大值．

解答 解：由均值不等式得，（a+b）²+（a+b+4c）²=（a+b）²+[（a+2c）+（b+2c）]²
≥[2$\sqrt{ab}$]²+[2$\sqrt{2ac}$+2$\sqrt{2bc}$）]²=4ab+8ac+8bc+16c$\sqrt{ab}$，
于是$\frac{[（a+b）^{2}+（a+b+4c）^{2}]（a+b+c）}{abc}$≥$\frac{（4ab+8ac+8bc+16c\sqrt{ab}）（a+b+c）}{abc}$
=（$\frac{4}{c}$+$\frac{8}$+$\frac{8}{a}$+$\frac{16}{\sqrt{ab}}$）（a+b+c）
=8（$\frac{1}{2c}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{\sqrt{ab}}$+$\frac{1}{\sqrt{ab}}$）（$\frac{a}{2}$+$\frac{a}{2}$+$\frac{2}$+$\frac{2}$+c）
≥8•5•$\root{5}{\frac{1}{2c{a}^{2}^{2}}}$•5•$\root{5}{\frac{{a}^{2}^{2}c}{16}}$=100．
∴當且僅當a=b=2c＞0時取最小值，
由題意可得k≤$\frac{[（a+b）^{2}+（a+b+4c）^{2}]（a+b+c）}{abc}$恒成立．
即有k≤100．
故k的最大值為100．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用均值不等式，以及滿足的條件：一正二定三等，具有一定的技巧，屬于難題．