Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若且，求證： .

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：

(1)對函數(shù)求導有，則原問題等價于方程有大于零的實根，結(jié)合二次方程根的分布理論可得；

(2)原問題等價于在區(qū)間內(nèi)恒成立，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得；

(3)當時，不等式顯然成立，當，等價轉(zhuǎn)化后結(jié)合（2）的結(jié)論即可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

（1）的定義域為

因為在定義域內(nèi)不單調(diào)，所以方程有大于零的實根，

函數(shù)的圖像經(jīng)過點，

，

（2）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

在區(qū)間內(nèi)恒成立，即在區(qū)間內(nèi)恒成立

在時取得最小值，

（3）當時，不等式顯然成立，

當，只需證明，令，則只需證明成立，由（2）可知在上是增函數(shù)，