Question

已知a＋b＋c，b＋c－a，c＋a－b，a＋b－c成等比數(shù)列，且公比為q．

求證：(1)q³＋q²＋q＝1；(2)q＝．

Answer 1

答案：
解析：

思路與技巧：(1)根據(jù)所求式子中有q3，q2，q，所以很自然想到要用等比數(shù)列的定義把第二、三、四項(xiàng)都用第一項(xiàng)和公比來(lái)表示，接下來(lái)發(fā)現(xiàn)b＋c－a，c＋a－b，a＋b－c相加是a＋b＋c，即可證得；(2)利用(1)的解法中相加的思想，產(chǎn)生出a，c來(lái)． 　　解答：(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義，得 　　b＋c－a＝(a＋b＋c)q，c＋a－b＝(a＋b＋c)q2，a＋b－c＝(a＋b＋c)q3， 　　三式相加，得a＋b＋c＝(a＋b＋c)(q＋q2＋q3)， 　　∵a＋b＋c≠0，∴q3＋q2＋q＝1． 　　(2)由b＋c－a＝(a＋b＋c)q，c＋a－b＝(a＋b＋c)q2兩式相加，得 　　2c＝(a＋b＋c)(q＋q2)① 　　由c＋a－b＝(a＋b＋c)q2，a＋b－c＝(a＋b＋c)q3兩式相加，得 　　2a＝(a＋b＋c)(q2＋q3)　② 　　②÷①得q＝． 　　評(píng)析：本題除了根據(jù)等比數(shù)列的定義以外，認(rèn)真觀察題中條件與結(jié)論的關(guān)系，觀察式子的特征是解決本題的必要素質(zhì)，因此平時(shí)要有意識(shí)地培養(yǎng)自己．