Question

16．關于x的方程x³-px+2=0有三個不同實數(shù)解，則實數(shù)p的取值范圍為（3，+∞）．

Answer 1

分析 原方程即為p=x²+$\frac{2}{x}$，設f（x）=x²+$\frac{2}{x}$，求出導數(shù)，判斷單調性，可得極小值3，再由圖象，即可得到p的范圍．

解答 解：x³-px+2=0即為p=x²+$\frac{2}{x}$，
設f（x）=x²+$\frac{2}{x}$，導數(shù)f′（x）=2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
當x＞1時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）遞增；
當x＜0，或0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，0），（0，1）遞減．
可得f（x）在x=1處取得極小值3，
作出y=f（x）的圖象，由題意可得當p＞3時，
直線y=p與y=f（x）有3個交點．
即有原方程有三個不同實數(shù)解，則p的范圍是（3，+∞）．
故答案為：（3，+∞）．

點評 本題考查方程的解的個數(shù)問題的解法，注意運用分離參數(shù)和函數(shù)的導數(shù)判斷單調性和極值，考查數(shù)形結合的思想方法，屬于中檔題．