Question

1．已知f（x）=x²+2（a-1）x+4．
（1）如果對(duì)一切x∈R，f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍；
（2）如果對(duì)x∈[-3，1]，f（x）＞0成立，求實(shí)數(shù)a的范圍；
（3）如果對(duì)a∈[-3，1]，f（x）＞0成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)一切x∈R，f（x）＞0恒成立，只需開口向上和判別式恒小于零建立關(guān)系式即可；
（2）對(duì)x∈[-3，1]，f（x）＞0恒成立，可運(yùn)用參數(shù)分離，討論x的范圍，由基本不等式即可得到最值，進(jìn)而得到所求范圍；
（3）將a看作主元，運(yùn)用一次函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）∵對(duì)一切x∈R，f（x）＞0恒成立，
根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得
△=4（a-1）²-16＜0⇒-1＜a＜3；
（2）∵對(duì)x∈[-3，1]，f（x）＞0恒成立，
則當(dāng)x=0時(shí)，4＞0恒成立；
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，-2（a-1）＜x+$\frac{4}{x}$恒成立，
由x+$\frac{4}{x}$在（0，1]遞減，當(dāng)x=1取得最小值5，
則-2（a-1）＜5，解得a＞-$\frac{3}{2}$；
當(dāng)-3≤x＜0時(shí)，-2（a-1）＞x+$\frac{4}{x}$恒成立，
由x+$\frac{4}{x}$≤-4，當(dāng)且僅當(dāng)x=-2取得最大值-4，
則-2（a-1）＞-4，解得a＜3．
綜上可得a的范圍是（-$\frac{3}{2}$，3）；
（3）對(duì)a∈[-3，1]，f（x）＞0成立，
可令g（a）=2ax+x²-2x+4，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（-3）＞0}\\{g（1）＞0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-8x+4＞0}\\{{x}^{2}+4＞0}\end{array}\right.$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{x＞4+2\sqrt{3}或x＜4-2\sqrt{3}}\\{x∈R}\end{array}\right.$，
則x的范圍是（-∞，4-2$\sqrt{3}$）∪（4+2$\sqrt{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及函數(shù)在閉區(qū)間上最值問題，注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造主元，屬于中檔題和易錯(cuò)題．