Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，D是BC的中點．
（1）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（2）求二面角C₁-AD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）連接A₁C，交AC₁于點O，連接OD．由 ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，得四邊形ACC₁A₁為矩形，由此利用三角形中位線能夠證明A₁B∥平面ADC₁．
（2）由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，且∠ABC=90°，知BA，BC，BB₁兩兩垂直．由此能求出二面角C₁-AD-C的余弦值．

解答：（1）證明：連接A₁C，交AC₁于點O，連接OD．
由 ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
得四邊形ACC₁A₁為矩形，
O為A₁C的中點，又D為BC中點，
所以O(shè)D為△A₁BC中位線，
所以 A₁B∥OD，
因為 OD?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，所以 A₁B∥平面ADC₁．…（6分）
（2）解：由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
且∠ABC=90°，
故BA，BC，BB₁兩兩垂直．
以BA為x軸，以BC為y軸，以BB₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，D是BC的中點，
∴可設(shè)AA₁=1，AB=BC=2，BD=DC=1，
∴A（2，0，0），D（0，1，0），C（0，2，0），C₁（0，2，1），
∴

AC1

=（-2，2，1），

AD

=(-2，1，0)，
設(shè)平面ADC₁的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n

•

AC1

=0，

n

•

AD

=0，
∴

-2x+2y+z=0 -2x+y=0

，∴

n

=（1，2，-2），
∵平面ADC的法向量

n1

=(0，0，1)，
所以二面角C₁-AD-C的余弦值為|cos＜

n

，

n1

＞|=|

-2

3×1

|=

2

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的求法．解題時要認(rèn)真審題，注意合理地化空間問題為平面問題，注意向量法的合理運用．