Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x^α-lnx，（參考數(shù)據(jù)：ln2=0.693，ln3=1.099）
（1）若α=2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式f（x）＞0恒成立，求α的取值范圍；
（3）證明：••…＜4（n∈N₊）

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)f（x）=x^α-lnx，把α=2代入f（x），對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）已知不等式f（x）＞0恒成立，將問題轉(zhuǎn)化為f（x）的最小值大于0即可，利用導(dǎo)數(shù)研究f（x）的最值問題，從而求解；
（3）可以利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，注意歸納法證明的步驟，要寫清楚；
解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x^α-lnx，∵α=2，
∴f′（x）=2x-=（x≥0）
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，x＞，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，0＜x＜，f（x）為減函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間：（，+∞）；
函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間：（0，）；
（2）∵不等式f（x）＞0恒成立，
∴f（x）的最小值大于等于0，即可，
f′（x）=αx^α-1-，
令f′（x）=0，可得x=，是惟一的極值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，
f（x）_min=f（）=[]^α-=-ln=（1-ln）＞0，
解得α＞；
（3）用歸納法進(jìn)行證明：
當(dāng)n=1，可得1＜4成立；
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即＜4成立，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
有＜4×，
∵=，令f（x）=，兩邊取對(duì)數(shù)：
lnf（x）=lnx，（x＞0），當(dāng)x＞0時(shí)，x＞lnx
兩邊求導(dǎo)=，可得f′（x）=f（x）=•＞0，
f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x→+∞，可有=1，
∴0＜＜1，令n=k+1，
∴0＜＜1，
∴4×＜4，
∴n=k+1時(shí)不等式也成立；
∴••…＜4即證；
點(diǎn)評(píng)：此題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，第一問是特殊條件，第二問是一般條件，第三問比較難，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，會(huì)比較困難，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，是一道難題．