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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面，為棱上一點，

（1）當為棱中點時，求直線與平面所成角的正弦值；

（2）是否存在點，使二面角的余弦值為？若存在，求的值.若不存在，請說明理由.

【答案】（1）；（2）存在，且.

【解析】

（1）由條件如圖建立空間直角坐標系，先求平面的法向量，再利用公式

求解；

（2）設，分別求平面的法向量是和平面的法向量，利用公式，求點的位置.

由條件可知三條線兩兩垂直，

如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，

，，，，

，,

設平面的法向量是，

由，得，令，則，，

直線與平面所成角的正弦值是；

（2）設，，

設平面的法向量是，

由，得，令，則，，

，平面的法向量，

，解得：

即是的中點，即.

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（2）為了估計該社區(qū)3個居民中恰有2個月收入在（元）的概率，采用隨機模擬的方法：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，我們用0，1，2，3，4表示收入在（元）的居民，剩余的數(shù)字表示月收入不在（元）的居民；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表統(tǒng)計的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)如下：