Question

9．設(shè)直線l：x+y+m=0，圓C：（x-2）²+（y-1）²=9的圓心為C，直線l與圓C交于A，B兩點．
（1）若m=-2，求△ABC的面積；
（2）設(shè)直線AC、BC的斜率分別為k₁，k₂，若k₁•k₂=-2，試求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）求出圓心到直線的距離，|AB|，即可求△ABC的面積；
（2）直線l：x+y+m=0，圓C：（x-2）²+（y-1）²=9聯(lián)立，利用韋達定理，結(jié)合k₁•k₂=-2．斜率公式，即可求實數(shù)m的值．

解答 解：（1）若m=-2，直線l：x+y-2=0，∴圓心到直線的距離d=$\frac{|2+1-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴|AB|=2$\sqrt{9-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{34}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}×\sqrt{34}×\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直線l：x+y+m=0，圓C：（x-2）²+（y-1）²=9聯(lián)立可得2x²+（2m-2）x+m²+2m-4=0．
∴x₁+x₂=1-m，x₁x₂=$\frac{1}{2}$（m²+2m-4）
k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+（m+1）（{x}_{1}+{x}_{2}）+（m+1）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$=-2，
∴3x₁x₂+（m-3）（x₁+x₂）+（m+1）²+8=0
∴3•$\frac{1}{2}$（m²+2m-4）+（m-3）（1-m）+（m+1）²+8=0，
∴m²+4m-2=0，
∴m=-2±$\sqrt{6}$

點評 本題考查三角形面積的計算，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．