Question

已知半徑為的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線相切．

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ） 在（Ⅱ）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得弦的垂直平分線過點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) (2) (3)

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）設(shè)圓心為（）．由于圓與直線相切，且半徑為，所以 ，即．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013101323301742771719/SYS201310132331374119149302_DA.files/image010.png">為整數(shù)，故．

故所求圓的方程為．              4分

（Ⅱ）把直線，即代入圓的方程，消去整理，得

由于直線交圓于A、B兩點(diǎn)，故

即，由于，解得

所以實(shí)數(shù)的取值范圍

（Ⅲ）設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在，由于，則直線的斜率為

的方程為，即

由于垂直平分弦AB，故圓心必在上，

所以，解得。由于，故存在實(shí)數(shù) 

使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦AB         14分

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng):解決的關(guān)鍵是利用直線與圓相切，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式得到圓的方程，編輯和圖像有交點(diǎn)，結(jié)合方程有實(shí)數(shù)根來得到，，屬于基礎(chǔ)題。