Question

12．已知：空間四邊形ABCD的各條邊和對角線長都等于a，E，F(xiàn)，G分別是AB，CD，AD的中點．
（1）給出直線EG和直線FG的一個方向向量；
（2）給出平面CDE的一個法向量．

Answer 1

分析 （1）由三角形中位線定理得EG∥BD，F(xiàn)G∥CA，從而得到$\overrightarrow{BD}$是直線EG的一個方向向量，$\overrightarrow{AC}$是直線FG的一個方向向量．
（2）由已知得到CE⊥AB，DE⊥AB，從而AB⊥平面CDE，由此得到平面CDE的一個法向量為$\overrightarrow{AB}$

解答 解：（1）∵空間四邊形ABCD的各條邊和對角線長都等于a，
E，F(xiàn)，G分別是AB，CD，AD的中點，
∴EG∥BD，F(xiàn)G∥CA，
∴$\overrightarrow{BD}$是直線EG的一個方向向量，$\overrightarrow{AC}$是直線FG的一個方向向量．
（2）∵空間四邊形ABCD的各條邊和對角線長都等于a，E是AB的中點，
∴CE⊥AB，DE⊥AB，
∵CE∩DE=E，∴AB⊥平面CDE，
∴平面CDE的一個法向量為$\overrightarrow{AB}$．

點評 本題考查直線的方向向量的求法，才副標(biāo)題平面的法向量的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運用．