Question

某商品在近100天內，商品的單價f（t）（元）與時間t（天）的函數關系式如下：f(t)=

at+b，0≤t≤40，t∈Z 32，40＜t≤100，t∈Z.

已知第20天時，該商品的單價為27元，40天時，該商品的單價為32元．
（1）求出實數a，b的值：
（2）已知該種商品的銷售量與時間t（天）的函數關系式為g(t)=-

1

3

t+

112

3

(0≤t≤100，t∈Z)．求這種商品在這100天內哪一天的銷售額y最高？最高為多少（精確到1元）？

Answer 1

分析：（1）根據第20天時，該商品的單價為27元，40天時，該商品的單價為32元，可建立方程組，從而求出實數a，b的值．
（2）先得銷售額函數為分段函數，再分段研究函數的最值，從而求出分段函數的最值．

解答：解：（1）由題意，第20天時，該商品的單價為27元，40天時，該商品的單價為32元．
∴

f(20)=27 f(40)=32

，
∴

20a+b=27 40a+b=32

∴a=

1

4

，b=22
（2）∵該種商品的銷售量與時間t（天）的函數關系式為g(t)=-

1

3

t+

112

3

(0≤t≤100，t∈Z)．
∴銷售額為f(t)g(t)=

( 1 4 t+22)(- 1 3 t+ 112 3 )，0≤t≤40，t∈Z   32(- 1 3 + 112 3 )，40＜t≤100，t∈Z.

當0≤t≤40時，y=(

1

4

t+22)(-

1

3

t+

112

3

)=-

1

12

(t-12)2+

112×22

3

+12
∴t=12時，ymax=

112×22

3

+12≈833
當40＜t≤100時，y=32(-

1

3

t+

112

3

)是減函數，∴y＜32(-

1

3

×40+

112

3

)＜833
綜上，當0≤t≤100時，當且僅當t=12時，y_max≈833
答：這種商品在這100天內第12天的銷售額最高，最高為833元．

點評：本題的考點是函數最值的運用，考查函數模型的構建，考查分段函數的最值問題，解題時應搞清分段函數最值的求解方法．