Question

6．已知函數f（x）=lnx+ax²-（2a+1）x+1，a∈R．
（1）當a=$\frac{1}{4}$時，求f（x）的極值；
（2）設g（x）=e^x-x，若對于任意的x₁∈（0，+∞），x₂∈R，不等式f（x₁）≤g（x₂）恒成立，求實數a的范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=$\frac{1}{4}$時，f（x）=lnx+$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+1，f′（x）=$\frac{（x-1）（x-2）}{2x}$，確定函數的單調性，即可得出極值；
（2）對于任意的x₁∈（0，+∞），x₂∈R，不等式f（x₁）≤g（x₂）恒成立，則有f（x）_max≤g（x）_min．利用導數分別在定義域內研究其單調性極值與最值即可．

解答 解：（1）當a=$\frac{1}{4}$時，f（x）=lnx+$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+1，…（2分）
f′（x）=$\frac{（x-1）（x-2）}{2x}$
當（0，1），（2，+∞）時，f′（x）＞0，所以在單調遞增，
當（1，2）時，f′（x）＜0所以在單調遞減．…（3分）
所以當x=1時，f（x）有極大值-$\frac{1}{4}$，當x=2時，有極小值ln2-1．…（5分）
（2）由g（x）=e^x-x，則g'（x）=e^x-1，
令g'（x）＞0，解得x＞0；令g'（x）＜0，解得x＜0．
∴g（x）在（-∞，0）是減函數，在（0，+∞）是增函數，
即g（x）_最小值=g（0）=1．…（7分）
對于“對于任意的x₁∈（0，+∞），x₂∈R，不等式f（x₁）≤g（x₂）恒成立”等價于f（x）_最大值≤1．
又因為f′（x）=$\frac{（x-1）（2ax-1）}{x}$…（8分）
①當a=0時，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．
∴f（x）在（0，1）是增函數，在（1，+∞）是減函數，
∴f（x）_最大值=f（1）=0＜1，
∴a=0符合題意．．…（10分）
②當a＜0時，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．
∴f（x）在（0，1）是增函數，在（1，+∞）是減函數，
∴f（x）_最大值=f（1）=-a≤1，
得-1≤a＜0，
∴-1≤a＜0符合題意．…（12分）
③當a＞0時，a=$\frac{1}{2}$時，f（x）在（0，+∞）是增函數，
而當x→+∞時，f（x）→+∞，這與對于任意的x∈（0，+∞）時f（x）≤1矛盾．
同理0＜a＜$\frac{1}{2}$與a$＞\frac{1}{2}$時也不成立．
綜上所述：a的取值范圍為[-1，0]．…（14分）．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了分類討論的思想方法，考察了推理能力和計算能力，屬于難題．