Question

19．已知雙曲線C與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1有公共焦點，且過點（2，$\sqrt{2}$）．求雙曲線C的方程．

Answer 1

分析 由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1求得其焦點坐標，即可求得c=2，由雙曲線的性質可知：b²=4-a²，可設雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{4-{a}^{2}}=1$，將點（2，$\sqrt{2}$）代入即可求得a和b的值，求得雙曲線C的方程．

解答 解：由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1焦點在x軸上，
焦點坐標為：（-2，0），（2，0），
∴c=2，
由雙曲線的性質可知：a²+b²=2²，則b²=4-a²，
設雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{4-{a}^{2}}=1$，
又雙曲線過點（2，$\sqrt{2}$），代入可得：$\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{2}{4-{a}^{2}}=1$，
解得：a²=2，b²=2
故所求雙曲線的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

點評 本題考查雙曲線的性質，考查利用待定系數(shù)法求雙曲線的方程，考查計算能力，屬于中檔題．