Question

已知，函數(shù).

(1)時，寫出的增區(qū)間；

(2)記在區(qū)間[0,6]上的最大值為，求的表達式；

(3)是否存在，使函數(shù)在區(qū)間(0,6)內(nèi)的圖象上存在兩點，在該兩點處的切線互相垂直？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

 (1)；

 (2)當0≤x≤t時，f(x)＝；當x＞t時，f(x)＝.

因此，當x∈(0，t)時，f′(x)＝＜0，f(x)在(0，t)上單調(diào)遞減；

當x∈(t，＋∞)時，f′(x)＝＞0，f(x)在(t，＋∞)上單調(diào)遞增．

①若t≥6，則f(x)在(0,6)上單調(diào)遞減，g(t)＝f(0)＝.

②若0＜t＜6，則f(x)在(0，t)上單調(diào)遞減，在(t,6)上單調(diào)遞增．

所以g(t)＝mtx{f(0)，f(6)}．

而f(0)－f(6)＝，故當0＜t≤2時，g(t)＝f(6)＝；

當2＜t＜6時，g(t)＝f(0)＝.綜上所述，g(t)＝

(3)由(1)知，當t≥6時，f(x)在(0,6)上單調(diào)遞減，故不滿足要求．

當0＜t＜6時，f(x)在(0，t)上單調(diào)遞減，在(t,6)上單調(diào)遞增．

若存在x₁，x₂∈(0,6)(x₁＜x₂)，使曲線y＝f(x)在(x₁，f(x₁))，(x₂，f(x₂))兩點處的切線互相垂直，則x₁∈(0，t)，x₂∈(t,6)，且f′(x₁)·f′(x₂)＝－1，

即.亦即x₁＋3t＝.(*)

由x₁∈(0，t)，x₂∈(t,6)得x₁＋3t∈(3t,4t)，∈.

故(*)成立等價于集合T＝{x|3t＜x＜4t}與集合B＝的交集非空．因為＜4t，所以當且僅當0＜3t＜1，即0＜t＜時，T∩B≠.

綜上所述，存在t使函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,6)內(nèi)的圖象上存在兩點，在該兩點處的切線互相垂直，且t的取值范圍是.