Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1,AB=2，點E是棱AB上的動點．

(1)證明D₁E⊥A₁D；

(2)若E為AB的中點，求異面直線AD₁與EC所成的角；

(3)若二面角D₁-EC-D為45°時，求EB的長．

Answer 1

解：(1)證明：∵EA⊥平面AD₁，而AD=AA₁

∴A₁D⊥AD₁    ∴D₁E⊥A₁D 

(2)設(shè)DC中點為F，易知AF∥EC，連結(jié)D₁F

∴∠D₁AF為異面直線AD₁與CE所成的角

∵AB=2，AD=AA₁=1，E、F為中點

∴AD₁=AF=D₁F=

∴∠D₁AF=60°  ∴AD₁與CE所成的角為60°

(3)過D作DG⊥CE于C，連結(jié)D₁G，∵D₁D⊥平面DB

∴EC⊥D₁G

∴∠D₁GD為二面角D₁-EC-D的平面角，即∠D₁GD=45°

故DG=D₁D=1，易知△BCE∽△GDC

∴  ∴EC=2  ∴BE=

向量法：

(1)以D為原點，DA為x軸建立空間坐標系，則

D(0，0，0)，D₁(0，0，1)，E(1，x，0)，A₁(1，0，1)

∴=(1，x，-1)  =(-1，0，-1)

∴·=1×(-1)+x×0+(-1)×(-1)=0

∴D₁E⊥A₁D 

(2)∵E(1，1，0)  C(0，2，0) A(1，0，0)  D₁(0，0，1)

∴=(-1，0，1)  (-1，1，0)

∴cos〈,〉=

∴AD₁與EC所成的角為60° 

(3)設(shè)E(1，2-x，0)  C(0，2，0)  D₁(0，0，1)

∴=(-1，x，0)  =(0，2，-1)

設(shè)平面D₁EC的一個法向量n=(a，b，c)

由n·=0，得-a+bx=0

由n·=0，得2b-c=0

∴可取n=(x，1，2)，=(0，0，1)

∴cos〈n，〉=