Question

1．如圖，已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=2，AA₁=1，直線BD與平面AA₁B₁B所成的角為30°，AE垂直BD于點E，F(xiàn)為A₁B₁的中點．
（1）求異面直線AE與BF所成角的余弦值；
（2）求平面BDF與平面AA₁B₁B所成二面角（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA₁所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AE、BF所成的角的余弦值．
（2）分別求出平面AA₁B的一個法向量和平面BDF的一個法向量，由此利用向量法能求出平面BDF與平面AA₁B所成的二面角（銳角）的余弦值．

解答 解：（1）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA₁所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．
由已知AB=2，AA₁=1，可得A（0，0，0），B（2，0，0），F(xiàn)（1，0，1）．                                                               
又AD⊥平面AA₁B₁B，從而BD與平面AA₁B₁B所成的角為∠DBA=30°．
又AB=2，AE⊥BD，AE=1，AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，由已知得得E（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），D（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0）
$\overrightarrow{BF}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AE}=（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$，∴$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{BF}＞=-\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即異面直線AE、BF所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
（2）平面AA₁B的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，1，0）．
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面BDF的一個法向量，$\overrightarrow{BD}=（-2，\frac{2\sqrt{3}}{3}，0）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=2x-\frac{2\sqrt{3}}{3}y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}=（1，\sqrt{3}，1）$．
∴所以cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
平面BDF與平面AA₁B₁B所成二面角（銳角）的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．屬于中檔題．