Question

18．已知：∠BAC=42°，∠CAD=30°，∠BDA=72°，∠BDC=12°，求∠CBD=？（需詳細解題過程）

Answer 1

分析 作DE⊥AC于E，CF⊥BD于F，設DE=x，則AD=2x，且∠CDE=24°，求出BD=2x•2cos36°，
CD=$\frac{x}{cos24°}$，CF=$\frac{sin12°}{cos24°}•x$，BF=$\frac{cos12°}{cos24°}$•x，從而BF=BD-DF=4xcos36°-$\frac{cos12°}{cos24°}$x，
由此求出tan∠CBD=tan6°，由此能求出∠CBD．

解答 解：作DE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
設DE=x，則AD=2x，且∠CDE=24°，
∴BD=AD•$\frac{sin72°}{sin30°}$=2x•2cos36°，
CD=$\frac{DE}{cos24°}$=$\frac{x}{cos24°}$，
∴CF=CD•sin12°=$\frac{sin12°}{cos24°}•x$，
BF=CD•cos12°=$\frac{cos12°}{cos24°}$•x，
∴BF=BD-DF=4xcos36°-$\frac{cos12°}{cos24°}$x，
∴tan$∠CBD=\frac{CF}{BF}$
=$\frac{\frac{sin12°}{cos24°}•x}{4xcos30°-\frac{cos12°}{cos24°}•x}$
=$\frac{sin12°}{2（cos60°+cos12°）-cos12°}$
=$\frac{sin12°}{1+cos12°}$=$\frac{2sin6°cos6°}{2co{s}^{2}6°}$=tan6°，
∴∠CBD=6°．

點評 本題考角的求法，考查正弦定理、三角函數(shù)、正切加法定理等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．