Question

20．定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意的m，n∈R有f（m+n）=f（m）•f（n），且當(dāng)x＞0時(shí)，有0＜f（x）＜1，f（4）=$\frac{1}{16}$
（1）證明：f（x）＞0在R上恒成立；
（2）證明：f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）若x＞0時(shí)，不等式4f（x）f（ax）＞f（x²）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，令m=2，n=0，求得f（0）的值，令x＜0，且y=-x，則-x＞0，f（-x）＞1，得到0＜f（x）＜1，問題得以證明．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性化為具體不等式，再分離參數(shù)，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 （1）證明：①令m=2，n=0，可得f（0+2）=f（0）f（2），∴f（0）=1
②令x＜0，且y=-x，則-x＞0，f（-x）＞1，
∴f（x-x）=f（x）•f（-x）=1，
∵f（-x）＞1，
∴0＜f（x）＜1，
綜上所述，f（x）＞0在R上恒成立．…（4分）
（2）證明：任取實(shí)數(shù)x₁，x₂，∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則有x₂-x₁＞0，從而可得0＜f（x₂-x₁）＜1
又∵f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）f（x₂-x₁）＜f（x₁）
∴f（x）在R上是減函數(shù)…（7分）
（3）令m=n=2可得f（2+2）=f（2）f（2）=$\frac{1}{16}$，
∴f（2）=$\frac{1}{4}$
∴4f（x）f（ax）＞f（x²）可化為f（x）f（ax）＞f（2）f（x²）
∴f（x+ax）＞f（2+x²）
∴x+ax＜2+x²，
從而當(dāng)x＞0時(shí)，有a+1＜$\frac{2+{x}^{2}}{x}$恒成立．
令h（x）=$\frac{2+{x}^{2}}{x}$=x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{2}$，從而可得a＜2$\sqrt{2}$-1…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)表達(dá)式反映函數(shù)性質(zhì)及抽象函數(shù)表達(dá)式的應(yīng)用，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化化歸的思想的應(yīng)用，屬于中檔題．