Question

如圖，把邊長為40cm的正方形鐵皮的四角邊去邊長為xcm的四個相同的正方形，然后折成一個高度為xcm的無蓋的長方體的盒子，要求長方體的高度與底面邊長的比值不超過常數(shù)k（k＞0），問x取何值時，盒子的容積最大，最大容積是多少？

Answer 1

解 由題意得，函數(shù)V（x）=x（40﹣2x）²=4（20﹣x）^2_·x，
且 ，定義域為 （0，]．
函數(shù)V的導數(shù) V′（x）=12x²﹣320x+400，
令 V′=0可得，x=，或 x=（舍去）．
當≤ 時，導數(shù) V′在x= 的左側為正，右側為負，
故當x= 時，函數(shù)V（x）=x（40﹣2x）²=4（20﹣x）^2_·x 取得最大值，
且最大值為V（）．
當＞ 時，由于當 0＜x＜時，V′（x）＞0，
函數(shù)V（x）在（0，]是增函數(shù)，
故當x= 時，函數(shù)V（x）=x（40﹣2x）²=4（20﹣x）^2_·x 取得最大值，
且最大值為V（）．