Question

5．已知點(diǎn)H（-1，0），點(diǎn)P在y軸上，動(dòng)點(diǎn)M滿足PH⊥PM，且直線PM與x軸交于點(diǎn)Q，Q是線段PM的中點(diǎn)．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）若點(diǎn)F是曲線E的焦點(diǎn)，過(guò)F的兩條直線l₁，l₂關(guān)于x軸對(duì)稱，且l₁交曲線E于A、C兩點(diǎn)，l₂交曲線E于B、D兩點(diǎn)，A、D在第一象限，若四邊形ABCD的面積等于$\frac{5}{2}$，求直線l₁，l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：$\overrightarrow{PH}$=（-1，-y₁），$\overrightarrow{PQ}$=（x₁，-y₁），利用PH⊥PM，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）由拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可用m表示四邊形ABCD的面積，求出m，即可求直線l₁，l₂的方程．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），P（0，y₁）（y₁≠0），Q（x₁，0），
$\overrightarrow{PH}$=（-1，-y₁），$\overrightarrow{PQ}$=（x₁，-y₁），
∵PH⊥PM，
∴-x₁+y′²=0，即y₁²=x₁，
又$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}={x}_{1}}\\{\frac{y+{y}_{1}}{2}=0}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{x}{2}}\\{{y}_{1}=-y}\end{array}\right.$，可得：y²=$\frac{x}{2}$（x≠0），
（2）由（1）拋物線的焦點(diǎn)F（$\frac{1}{8}$，0），則直線l₁：x=my+$\frac{1}{8}$（m＞0），
則$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\frac{1}{8}}\\{{y}^{2}=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，整理得y²-$\frac{k}{2}$y-$\frac{1}{16}$=0，
∴y_A+y_C=$\frac{m}{2}$，y_Ay_C=-$\frac{1}{16}$，
由題意，四邊形ABCD是等腰梯形，
∴S=丨$\frac{（2{y}_{A}+2{y}_{D}）（{x}_{D}-{x}_{A}）}{2}$丨=-2（y_A-y_C）²（y_A+y_C）=，
=-m[（y_A+y_C）²-4y_Ay_C]=-$\frac{{m}^{3}+m}{4}$，
由-$\frac{{m}^{3}+m}{4}$=$\frac{5}{2}$，
整理得：m³+m=10，（m+2）（m²-2m+5）=0，
則m²-2m+5＞0，則m=-2，
∴直線l₁，l₂的方程y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{16}$，y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，考查面積的計(jì)算，屬于中檔題．