Question

已知5sinβ=sin(2α+β).求證:2tan(α+β)=3tanα.

Answer 1

解:∵β=(α+β)-α,2α+β=(α+β)+α,∴5sin［(α+β)-α］=sin［(α+β)+α］,

即5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα.

∴2sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα.∴2tan(α+β)=3tanα.

點評:注意到條件式的角是β和2α+β,求證式中的角是α+β和α,顯然“不要”的角β和2α+β應(yīng)由要保留下來的角α+β與α來替代.三角條件等式的證明,一般是將條件中的角(不要的)用結(jié)論式中的角(要的)替代,然后選擇恰當(dāng)?shù)墓�式變�?三角變換中經(jīng)常要化復(fù)角為單角,化未知角為已知角.因此,看準(zhǔn)角與角的關(guān)系十分重要.哪些角消失了,哪些角變化了,結(jié)論中是哪些角,條件中有沒有這些角,在審題中必須對此認(rèn)真觀察和分析.常見的變角方式有:α=(α+β)-β;2α=(α+β)+(α-β);2α-β=(α-β)+α.當(dāng)然變形的方式不唯一,應(yīng)因題而異,要具體問題具體分析.