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用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果{an}是一個(gè)等差數(shù)列，那么an=a1+(n-1)d對(duì)一切n∈N*都成立.

思路分析：我們知道等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式都是通過(guò)遞推得出結(jié)論的，無(wú)法用演繹法證明它們的無(wú)窮性，數(shù)學(xué)歸納法以一次邏輯的推理代替了無(wú)限的驗(yàn)證過(guò)程.

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左=a1，

右=a1+(1-1)d=a1，所以等式成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N)時(shí)等式成立，即ak=a1+(k-1)d.

那么ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+［(k+1)-1］d.

∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立，由(1)(2)知對(duì)任何n∈N*等式成立.

方法歸納

    因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式都是關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù)，所以在關(guān)于這類問(wèn)題的證明上，如果我們無(wú)法確定其他比較簡(jiǎn)便的證明方法，那么數(shù)學(xué)歸納法是證明它們的一種有效方法.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)用a，b，c，d四個(gè)不同字母組成一個(gè)含n+1（n∈N+）個(gè)字母的字符串，要求由a開始，相鄰兩個(gè)字母不同．例如n=1時(shí)，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2時(shí)排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如圖所示．記這含n+1個(gè)字母的所有字符串中，排在最后一個(gè)的字母仍是a的字符串的種數(shù)為an．
（1）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：an=
3n+3(-1)n
4
(n∈N*，n≥1)；
（2）現(xiàn)從a，b，c，d四個(gè)字母組成的含n+1（n∈N*，n≥2）個(gè)字母的所有字符串中隨機(jī)抽取一個(gè)字符串，字符串最后一個(gè)的字母恰好是a的概率為P，求證：
2
9
≤P≤
1
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于數(shù)列{An}：A1，A2，A3，…，An，若不改變A1，僅改變A2，A3，…，An中部分項(xiàng)的符號(hào)，得到的新數(shù)列{an}稱為數(shù)列{An}的一個(gè)生成數(shù)列．如僅改變數(shù)列1，2，3，4，5的第二、三項(xiàng)的符號(hào)可以得到一個(gè)生成數(shù)列1，-2，-3，4，5．已知數(shù)列{an}為數(shù)列{
1
2n
}(n∈N*)的生成數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．
（1）寫出S3的所有可能值；
（2）若生成數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
1
2n
，n=3k+1
-
1
2n
，n≠3k+1
，k∈N，求Sn；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于給定的n∈N*，Sn的所有可能值組成的集合為：{x|x=
2m-1
2n
，m∈N*，m≤2n-1}．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

用四個(gè)不同字母組成一個(gè)含個(gè)字母的字符串，要求由開始，相鄰兩個(gè)字母不同. 例如時(shí)，排出的字符串是；時(shí)排出的字符串是，……， 如圖所示.記這含個(gè)字母的所有字符串中，排在最后一個(gè)的字母仍是的字符串的種數(shù)為.

（1）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：；

（2）現(xiàn)從四個(gè)字母組成的含個(gè)字母的所有字符串中隨機(jī)抽取一個(gè)字符串，字符串最后一個(gè)的字母恰好是的概率為，求證：.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年江蘇省海安高級(jí)中學(xué)、南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校、金陵中學(xué)高三調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

用a，b，c，d四個(gè)不同字母組成一個(gè)含n+1（n∈N+）個(gè)字母的字符串，要求由a開始，相鄰兩個(gè)字母不同．例如n=1時(shí)，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2時(shí)排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如圖所示．記這含n+1個(gè)字母的所有字符串中，排在最后一個(gè)的字母仍是a的字符串的種數(shù)為an．
（1）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：；
（2）現(xiàn)從a，b，c，d四個(gè)字母組成的含n+1（n∈N*，n≥2）個(gè)字母的所有字符串中隨機(jī)抽取一個(gè)字符串，字符串最后一個(gè)的字母恰好是a的概率為P，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年江蘇省連云港市東海高級(jí)中學(xué)高考數(shù)學(xué)考前猜題試卷（2）（解析版） 題型：解答題

用a，b，c，d四個(gè)不同字母組成一個(gè)含n+1（n∈N+）個(gè)字母的字符串，要求由a開始，相鄰兩個(gè)字母不同．例如n=1時(shí)，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2時(shí)排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如圖所示．記這含n+1個(gè)字母的所有字符串中，排在最后一個(gè)的字母仍是a的字符串的種數(shù)為an．
（1）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：；
（2）現(xiàn)從a，b，c，d四個(gè)字母組成的含n+1（n∈N*，n≥2）個(gè)字母的所有字符串中隨機(jī)抽取一個(gè)字符串，字符串最后一個(gè)的字母恰好是a的概率為P，求證：．

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