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已知拋物線y2=4px(p＞0),O為頂點(diǎn),A、B為拋物線上兩動點(diǎn)，且滿足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M點(diǎn)，求M的軌跡方程.

解：設(shè)M（x0，y0）,則kOM=，kAB=-，

直線AB方程是y=-（x-x0）+y0.

由y2=4px可得x=,將其代入上式，整理得

x0y2-（4py0）y-4py02-4px02=0.①

此方程的兩根y1、y2分別是A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo).

根據(jù)韋達(dá)定理得，由①可得y1·y2=，

又∵A、B在拋物線上，∴A(，y1)、B(，y2).

∵OA⊥OB，∴kOA·kOB=-1.

∴·=-1.∴y1y2=-16p2.

∴=16p2.

化簡得x02+y02-4px0=0，即x2+y2-4px=0（除去原點(diǎn)）為所求.

練習(xí)冊系列答案
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已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)弦AB的兩端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則關(guān)系式的值一定等于

[　　]

A．4p

B．－4p

C．p2

D．－p

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已知拋物線的方程為y2＝4px(p＞0)，A為拋物線上的點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，若|AF|＝4p，則|OA|的值為________．

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