Question

4．設滿足y≥|x-a|的點（x，y）的集合為A，滿足y≤-|x|+b的點（x，y）的集合為B，其中a，b為正數(shù)．
（1）用平面區(qū)域表示出集合A、B，并探求a，b的關系式，使A∩B≠∅．
（2）在（1）的條件下，求A∩B表示區(qū)域的面積．

Answer 1

分析 （1）在同一坐標系內畫出y≥|x-a|、y≤-|x|+b所表示的平面區(qū)域，數(shù)形結合可得使A∩B≠∅的a，b之間的關系；
（2）由（1）知，A∩B所表示的圖形為矩形ACBD，求出矩形面積即可．

解答 解：（1）不等式y(tǒng)≥|x-a|可化為$\left\{\begin{array}{l}{x-y-a≤0}\\{x≥a}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+y-a≥0}\\{x＜a}\end{array}\right.$，畫出它所表示的平面區(qū)域如圖所示，
不等式y(tǒng)≤-|x|+b可化為$\left\{\begin{array}{l}{x-y-b≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-y+b≥0}\\{x＜0}\end{array}\right.$，
將其表示的平面區(qū)域與A表示的平面區(qū)域畫在同一坐標系中，
如圖所示，要使A∩B≠∅，只要b≥a；
（2）由（1）知，A∩B所表示的圖形為矩形ACBD，
BE=b-a，在Rt△BDE中，∠DBE=45°，
∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（b-a），
又AD=AE+DE=$\sqrt{2}$a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（b-a）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（b+a），
∴矩形面積S=BD•AD=$\frac{1}{2}（^{2}-{a}^{2}）$．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，正確作出圖形是解答該題的關鍵，是中檔題．