Question

如圖，F(xiàn)是橢圓的右焦點，以F為圓心的圓過原點O和橢圓的右頂點，設P是橢圓的動點，P到兩焦點距離之和等于4。
（Ⅰ）求橢圓和圓的標準方程；
（Ⅱ）設直線l的方程為x=4，PM⊥l，垂足為M，是否存在點P，使得△FPM為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知可得2a=4，a=2c，得；
∴橢圓的標準方程為，圓的標準方程為；
（Ⅱ）設P（x，y），則M（4，y），F(xiàn)（1，0），
∵P（x，y）在橢圓上，
∴，，，

∴
（1）若|PF|=|FM|，則，解得x=-2或4，
∵|x|≤2，
當x=-2時，|PF|+|FM|=|PM|與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾，
∴|PF|≠|(zhì)PM|；
（2）若|PM|=|FM|，則，解得x=4或，
∵|x|≤2，
∴，∴，
∴，
綜上可知，存在兩點，，使得△PFM為等腰三角形。