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已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F1和F2，過F2的直線L與橢圓C相交 A，B于兩點，且直線L的傾斜角為60°，點F1到直線L的距離為2
3
，
（1）求橢圓C的焦距．
（2）如果
AF 2
=2
F2B
，求橢圓C的方程．
分析：（1）過F1作F1⊥l可直接根據(jù)直角三角形的邊角關系得到
3
c=2
3
，求得c的值，進而可得到焦距的值．
（2）假設點A，B的坐標，再由點斜式得到直線l的方程，然后聯(lián)立直線與橢圓方程消去x得到關于y的一元二次方程，求出兩根，再由
AF 2
=2
F2B
，可得y1與y2的關系，再結合所求得到y(tǒng)1與y2的值可得到a，b的值，進而可求得橢圓方程．
解答：解：（1）設焦距為2c，由已知可得F1到直線l的距離
3
c=2
3
，故c=2．
所以橢圓C的焦距為4．
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），由題意知y1＜0，y2＞0，直線l的方程為y=
3
（x-2）．
聯(lián)立
y= 
3
(x-2)
x2
a2
+
y2
b2
=1
得（3a2+b2）y2+4
3
b2y-3b4=0．
解得y1=
-
3
b2(2+2a)
3a2+b2
，y2=
-
3
b2(2-2a)
3a2+b2
．
因為
AF 2
=2
F2B
，所以-y1=2y2．
即
3
b2(2+2a)
3a2+b2
=2•
-
3
b2(2-2a)
3a2+b2
．
得a=3．而a2-b2=4，所以b=
5
．
故橢圓C的方程為
x2
9
+
y2
5
=1．
點評：本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)．考查考生對橢圓基本性質(zhì)的理解和認知，橢圓的基本性質(zhì)是高考的重點內(nèi)容，每年必考，一定要熟練掌握并能靈活運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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