Question

10．已知函數f（x）=ln（x+1）-x²-x．
（1）求函數的單調性；
（2）若關于x的方程f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個不同的實數根，求實數b的取值范圍；
（3）若對于不等式f（x）≤f（2x）+3x²+x-m²+3am+4對于任意a∈[-1，1]，x∈[0，1]恒成立．求m的取值1范圍．

Answer 1

分析 （1）首先寫出這個函數的定義域，然后再求出f（x）的導數，解不等式求單調區(qū)間．
（2）求解方程的實根問題可以轉化為函數的零點或圖象的交點問題．
（3）根據不等式恒成立的條件的理解利用最值進行求解．

解答 解：（1）由題意得x＞-1，$f′（x）=\frac{1}{x+1}-2x-1=\frac{-x（2x+3）}{x+1}$，令f′（x）＞0得-1＜x＜0，令f′（x）＜0得x＞0，所以f（x）在（-1，0]上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減．
（2）由f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b得$ln（x+1）-{x}^{2}+\frac{3}{2}x-b=0$，令φ（x）=$ln（x+1）-{x}^{2}+\frac{3}{2}x-b$，f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個不同的實數根，等價于φ（x）=0在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個不同的實數根，φ′（x）=$\frac{1}{x+1}-2x+\frac{3}{2}=-\frac{（x-1）（4x+5）}{2（x+1）}$，當x∈[0，1]時φ′（x）＞0，于是φ（x）在∈[0，1]上單調遞增；
當x∈[1，2]時φ′（x）＜0，于是φ（x）在∈[0，1]上單調遞減．依題意有$\left\{\begin{array}{l}{φ（0）=-b≤0}\\{φ（1）=ln2-1+\frac{3}{2}-b＞0}\\{φ（2）=ln3-4+3-b≤0}\end{array}\right.$，解得ln3-1≤b＜ln2+$\frac{1}{2}$．
（3）依題意有${m}^{2}-3am-4≤ln\frac{2x+1}{x+1}$，所以x∈[0，1]時$ln\frac{2x+1}{x+1}$最小值是ln1=0，所以m²-3am-4≤0 對于任意a∈[-1，1]，恒成立，則有$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-3m-4≤0}\\{{m}^{2}+3m-4≤0}\end{array}\right.$，解得-1≤m≤1．

點評 可以將方程的實數根轉化為函數的零點或圖象的交點問題，求解參數的取值范圍可以利用分離法．