Question

如圖所示，有一塊半徑長為1米的半圓形鋼板，現(xiàn)要從中截取一個內(nèi)接等腰梯形部件ABCD，設(shè)梯形部件ABCD的面積為y平方米．
（Ⅰ）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：
①設(shè)CD=2x（米），將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；
②設(shè)∠BOC=θ（rad），將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式．
（Ⅱ）求梯形部件ABCD面積y的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以直徑AB所在的直線為x軸，線段AB中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，過點C作CE垂直于x軸于點E，
①根據(jù)題意，利用CD=2x，分別得到梯形的上底，下底和高，再利用梯形的面積公式，列出關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，即可得到答案；
②根據(jù)題意，利用∠BOC=θ（rad），分別得到梯形的上底，下底和高，再利用梯形的面積公式，列出關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，即可得到答案；
（Ⅱ）方法1：利用①的表達式，將y=

(x+1)2(1-x2)

=

-x4-2x3+2x+1

的最大值，轉(zhuǎn)化成t=-x⁴-2x³+2x+1的最大值，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，從而確定出y的最大值；
方法2：利用①的表達式，直接對y=（x+1）

1-x2

進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)的最值；
方法3：利用②的表達式，對y=（1+cosθ）sinθ進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)的最值．

解答：解：如圖所示，以直徑AB所在的直線為x軸，線段AB中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，過點C作CE垂直于x軸于點E，
（I）①∵CD=2x，
∴OE=x（0＜x＜1），CE=

1-x2

，
∴y=

1

2

(|AB|+|CD|)•CE=

1

2

(2+2x)

1-x2

=(x+1)

1-x2

(0＜x＜1)，
②∵∠BOC=θ(0＜θ＜

π

2

)，
∴OE=cosθ，CE=sinθ，
∴y=

1

2

(|AB|+|CD|)•CE=

1

2

(2+2cosθ)sinθ=(1+cosθ)sinθ(0＜θ＜

π

2

)，
（II）（方法1）由①可知，y=（x+1）

1-x2

，
∴y=

(x+1)2(1-x2)

=

-x4-2x3+2x+1

，
令t=-x⁴-2x³+2x+1，
∴t'=-4x³-6x²+2=-2（2x³+3x²-1）=-2（x+1）²（2x-1），
令t'=0，解得x=

1

2

，x=-1（舍），
∴當0＜x＜

1

2

時，t'＞0，則函數(shù)t在（0，

1

2

）上單調(diào)遞增，
當

1

2

＜x＜1時，t'＜0，則函數(shù)在（

1

2

，1）上單調(diào)遞減，
∴當x=

1

2

時，t有最大值

27

16

，
∴y_max=

3 3

4

，
答：梯形部份ABCD面積y的最大值為

3 3

4

平方米．
（方法2）由①可知，y=（x+1）

1-x2

，
∴y′=

1-x2

+(x+1)×

1

2

×

-2x

1-x2

=

-2x2-x+1

1-x2

，
令y'=0，
∴2x²+x-1=0，（2x-1）（x+1）=0，
∴x=

1

2

，x=-1（舍），
∵當0＜x＜

1

2

時，y'＞0，則函數(shù)y在（0，

1

2

）上單調(diào)遞增，
當

1

2

＜x＜1時，y'＜0，則函數(shù)y在（

1

2

，1）上單調(diào)遞減，
∴當x=

1

2

時，ymax=

3 3

4

，
答：梯形部份ABCD面積的最大值為

3 3

4

平方米．
（方法3）由②可知，
∴y'=[（sinθ+sinθcosθ）]'=（sinθ）'+（sinθ•cosθ）'=cosθ+cos²θ-sin²θ=2cos²θ+cosθ-1，
令y'=0，
∴2cos²θ+cosθ-1=0，解得cosθ=

1

2

，即θ=

π

3

，cosθ=-1（舍），
∵當0＜θ＜

π

3

時，y'＞0，則函數(shù)y在(0，

π

3

)上單調(diào)遞增，
當

π

3

＜θ＜

π

2

時，y'＜0，則函數(shù)y在(

π

3

，

π

2

)上單調(diào)遞減，
∴當θ=

π

3

時，ymax=

3 3

4

，
答：梯形部份ABCD面積的最大值為

3 3

4

平方米．

點評：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．本題以半圓為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，關(guān)鍵是腰長表示上底長，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值求法以及運算求解的能力，同時考查一題多解，屬于中檔題．