Question

8．如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥底面A₁B₁C₁，A₁B₁⊥B₁C₁且A₁B₁=BB₁=B₁C₁，D為AC的中點．
（Ⅰ）求證：A₁B⊥AC₁
（Ⅱ）在直線CC₁上是否存在一點E，使得A₁E⊥平面A₁BD，若存在，試確定E點的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AB₁，利用三棱柱的性質容易得到B₁C₁⊥BB₁，結合已知，根據線面垂直的判定定理得到B₁C₁⊥平面A₁B₁BA，進一步由線面垂直的判定定理和性質定理得到所證；
（Ⅱ）存在點E在CC₁的延長線上且CE=2CC₁時，A₁E⊥平面A₁BD．利用線面垂直的判定定理和性質定理矩形證明．

解答 （Ⅰ）證明：連接AB₁
∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁
∴B₁C₁⊥BB₁
∵B₁C₁⊥A₁B₁且A₁B₁∩BB₁=B₁
∴B₁C₁⊥平面A₁B₁BA
∴A₁B⊥B₁C₁          …（3分）
又∵A₁B⊥AB₁且AB₁∩B₁C₁=B₁
∴A₁B⊥平面AB₁C₁    …（5分）
∴A₁B⊥AC₁         …（6分）
（Ⅱ）存在點E在CC₁的延長線上且CE=2CC₁時，A₁E⊥平面A₁BD．…（7分）
設AB=a，CE=2a，∴${A}_{1}{C}_{1}=\sqrt{2}a$，
∴${A}_{1}E=\sqrt{3}a$，${A}_{1}D=\sqrt{\frac{3}{2}}a$，DE=$\sqrt{\frac{9}{2}}a$，
∴${A}_{1}{E}^{2}+{A}_{1}{D}^{2}=D{E}^{2}$，∴A₁E⊥A₁D…（9分）
∵BD⊥AC，BD⊥CC₁，AC∩CC₁=C
∴BD⊥平面ACC₁A₁     …（10分）
又A₁E?平面ACC₁A₁
∴A₁E⊥BD
又BD∩A₁D=D
∴A₁E⊥平面A₁BD   …（12分）

點評 本題邑三棱柱為載體，考查了空間線面垂直的判定定理和性質定理的運用．