Question

16．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P是線段A₁C₁上的動點(diǎn)，則異面直線BP與B₁C所成角的取值范圍為[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）．

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線BP與B₁C所成角的取值范圍．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
則B（2，2，0），C（0，2，0），B₁（2，2，2），A₁（2，0，2），C₁（0，2，2），
設(shè)A₁C₁的中點(diǎn)為O，則O（1，1，2），
$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-2，0，-2），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{BO}$=（-1，-1，2），
設(shè)異面直線BP與B₁C所成角為θ，
當(dāng)P與A₁重合時，cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{B{A}_{1}}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}C}|•|\overrightarrow{B{A}_{1}}|}$=$\frac{|4|}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$=$\frac{1}{2}$，θ=$\frac{π}{3}$；
當(dāng)P與O重合時，cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{BO}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}C}|•|\overrightarrow{BO}|}$=$\frac{|4|}{\sqrt{8}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，θ=arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
當(dāng)P與C₁重合時，cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{B{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}C}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{|0|}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$=0，$θ=\frac{π}{2}$，此時BP與B₁C共面．
∴異面直線BP與B₁C所成角的取值范圍為[$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$）．
故答案為：[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查線面角取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．