Question

若a_i＞0(i=1,2,…,n),且a₁+a₂+…+a_n=1,

求證：a₁²+a₂²+…+a_n²≥(n∈N且n≥2).

Answer 1

證明：(1)n=2時(shí)，∵a₁+a₂=1,∴a₁²+a₂²=a₁²+(1-a₁)²=2(a₁-)²+≥.

∴n=2時(shí)命題正確.

（2）假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)命題正確，即如果a₁+a₂+…+a_k=1且a_i＞0(i=1,2,…,k),

那么a₁²+a₂²+…+a_k²≥,則n=k+1時(shí)，

∵a₁+a₂+…+a_k+a_k+1=1,

∴a₁+a₂+…+a_k=1-a_k+1.

∵0＜a_k+1＜1,∴0＜1-a_k+1＜1.

∴k個(gè)正數(shù)的和=1,從而由歸納假設(shè)得

,

即a₁²+a₂²+…+a_k²≥(1-a_k+1)²,從而有a₁²+a₂²+…+a_k²+a_k+1²≥(1-a_k+1)²+a_k+1².

下面只要證明(1-a_k+1)²+a_k+1²≥,

即證(k+1)²a_k+1²-2(k+1)a_k+1+1≥0，

即證［(k+1)a_k+1-1］²≥0,∴上式成立.

故n=k+1時(shí)命題正確.