Question

4．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱長都是$\sqrt{2}$，點A₁在底面ABC內(nèi)的射影O為底面三角形ABC的中心，則三棱錐C₁-BCA₁的體積${V}_{{C}_{1}-BC{A}_{1}}$=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由題意，先求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積，再求得${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}{C}_{1}CB}$的大小，從而得${V}_{{C}_{1}-BC{A}_{1}}$的大�。�

解答 解：連接AO，∵A₁在底面ABC內(nèi)的射影O為底面△ABC的中心，
∴A₁O為三棱錐B-A₁B₁C₁的高，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為$\sqrt{2}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴A₁O=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=S_△ABC•A₁O=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=2，
∴${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}{C}_{1}CB}$=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-${V}_{{A}_{1}-ABC}$=$\frac{4}{3}$，
∴${V}_{{C}_{1}-BC{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}{C}_{1}CB}$=$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查割補(bǔ)法求幾何體的體積，割補(bǔ)法是求幾何體體積的常用方法，必需熟練掌握．