Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，兩個頂點在直線x+2y-4=0上，F(xiàn)₁是橢圓的左焦點．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點P是橢圓上的一個動點，求線段PF₁的中點M的軌跡方程；
（3）若直線l：y=x+m與橢圓交于點A，B兩點，求△ABO面積S的最大值及此時直線l的方程．

Answer 1

（1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵兩個頂點在直線x+2y-4=0上，∴分別令x=0，可得b=y=2；令y=0，可得a=x=4．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

16

+

y2

4

=1；
（2）由（1）可得：c=

a2-b2

=2

3

．
∴F1(-2

3

，0)．
設(shè)線段PF₁的中點M（x，y），則P（2x+2

3

，2y）．
∵點P是橢圓上的一個動點，∴

(2x+2 3 )2

16

+

4y2

4

=1．
化為

(x+ 3 )2

4

+y2=1．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=x+m x2 16 + y2 4 =1

，消去y得到5x²-8mx+4m²-16=0．
∵直線l：y=x+m與橢圓交于點A，B兩點，∴△＞0，即m²＜20．（*）
∴x1+x2=

8m

5

，x1x2=

4m2-16

5

．
∴|AB|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2×[( 8m 5 )2-4× 4m2-16 5 ]

=

4 40-2m2

5

．
又點O到直線l的距離d=

|m|

2

．
∴S_△OAB=

1

2

d•|AB|=

2|m| 20-m2

5

，
∴

S

2△OAB

=

4m2(20-m2)

5

≤

4

5

(

m2+20-m2

2

)2=80，當(dāng)且僅當(dāng)m²=10時取等號，滿足（*）．
∴S△OAB≤4

5

．
∴△ABO面積S的最大值為4

5

．
此時直線l的方程為y=x±

10

．