Question

若函數(shù)f（x）的圖象上存在不同兩點(diǎn)A，B，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），使得f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線l與直線AB平行或重合，則稱切線l為函數(shù)f（x）的“平衡切線”．則函數(shù)f（x）=2aln（x+1）+x²-2x的“平衡切線”的條數(shù)為（　　）

• A、2條或無(wú)數(shù)條
• B、1條或無(wú)數(shù)條
• C、0條或無(wú)數(shù)條
• D、2條或0條

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：分情況討論：①當(dāng)a=0時(shí)，②當(dāng)a≠0時(shí)的情況，從而得出答案．

解答： 解：①當(dāng)a=0時(shí)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₂＞x₁），
AB中點(diǎn)坐標(biāo)為：（x₀，y₀），
∴2x₀=x₁+x₂，
∴K_AB=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

(x2+x1)(x2-x1)-2(x2-x1)

x2-x1

，
∴x₂+x₁-2=2x₀-2，
又∵f′（x₀）=2x₀-2，
∴切線l為f（x）平衡切線，且有無(wú)數(shù)條；
②當(dāng)a≠0時(shí)，K_AB=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

2aln( x2+1 x1+1 )

x2-x1

+2x₀-2，
f′（x₀）=

2a

x0+1

+2x₀-2，
令f′（x₀）=K_AB，則

x2-x1

x0+1

=ln（

x2+1

x1+1

）（*），
設(shè)x₀到x₁，x₂的距離都為d，
則（*）式化為：

2d

x0+1

=ln（

x0+d+1

x0-d+1

），
（x₀＞-1）且x₀＞d-1，
∴

2d

x0+1

＜

2d

d-1+1

=2，
又∵

2d

x0+1

＞

2(x0+1)

x0+1

=2，
因此，前后矛盾，不存在這樣的x₀ 和d，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義問(wèn)題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了分類討論思想，是一道綜合題．